Em um piano vertical, o coeficiente de inarmonicidade B das cordas mais graves pode chegar a 10⁻³, enquanto em um piano de cauda grande fica perto de 10⁻⁴, uma diferença de cerca de dez vezes (Dalmont, Acta Acustica 2021). É uma das diferenças medidas mais nítidas entre pianos pequenos e grandes. O ouvido acrescenta seu próprio viés: 36 músicos ajustaram a oitava 7,835 cents mais larga em A4 e 23,920 cents mais larga em A6 (Jaatinen, Pätynen e Alho, JASA 2019), e parciais inarmônicos fizeram tons graves de piano soarem cerca de dois semitons e meio mais agudos para um júri de 21 ouvintes (Anderson e Strong, JASA 2005). A afinação também não fica parada: um ano de concertos deslocou em até 10 cents a oitava mais aguda de um piano de cauda (Plath, ISMA 2019). Este levantamento trata da física das cordas, não do negócio de pianos, que o nosso levantamento de estatísticas do mercado de pianos acompanha. Reunimos dados do Journal of the Acoustical Society of America, da Acta Acustica, da série de palestras da Royal Swedish Academy of Music sobre acústica do piano, da Piano Technicians Guild, do USDA Forest Products Laboratory e de estudos de percepção revisados por pares na Communications Psychology e na Hearing Research.
Alguns termos em linguagem simples primeiro. Um parcial é um dos sobretons que uma corda produz acima de sua frequência mais baixa (a fundamental). Inarmonicidade significa que esses parciais ficam progressivamente mais agudos do que os múltiplos inteiros exatos, porque o fio de aço é rígido, e não perfeitamente flexível. O coeficiente de inarmonicidade B mede a intensidade desse efeito em uma corda: no modelo padrão, o parcial n fica em n vezes a fundamental multiplicado pela raiz quadrada de (1 + Bn²) (Gràcia e Sanz-Perela, Reports@SCM 2017). Um cent é um centésimo de semitom (Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012). Afinação com estiramento significa afinar os graves ligeiramente abaixo e os agudos ligeiramente acima do temperamento igual matemático.
TL;DR
- B fica perto de 10⁻⁴ nas cordas mais graves de um piano de cauda grande, mas pode chegar a 10⁻³ em um piano vertical (Dalmont, Acta Acustica 2021).
- A inarmonicidade é menor nas duas oitavas abaixo do dó central (Schuck e Young, JASA 1943).
- B varia de 5% a 18% entre a maioria das cordas vizinhas na região dos agudos altos estudada (Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020).
- Os músicos alargaram a oitava em 7,835 cents em A4 e em 23,920 cents em A6 (Jaatinen, Pätynen e Alho, JASA 2019).
- Parciais inarmônicos elevaram a altura percebida de tons graves de piano em cerca de dois semitons e meio (Anderson e Strong, JASA 2005).
- Uma desafinação comprimida foi detectada melhor do que uma estirada por 101 ouvintes, F1,100 = 228,87, p < 0,001 (Madsen e Oxenham, Communications Psychology 2024).
- As vibrações longitudinais das cordas foram audíveis em testes cegos até a nota C5 (Bank e Lehtonen, JASA 2010).
- Um piano de cauda de concerto moderno suporta cerca de 210.000 N de carga total nas cordas (Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990).
- O fio de aço para piano não mostra ganho significativo de resistência à tração desde o final do século XIX (Giordano, ASA, 161ª reunião, 2011).
- A oitava mais aguda de um piano de cauda de concerto se deslocou até 10 cents em um ano de cerca de 40 concertos (Plath, ISMA 2019).
- A madeira retém 4,5% de umidade com 20% de umidade relativa e 16,0% com 80%, a 70 °F (USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021).
1. Inarmonicidade ao Longo do Teclado
O coeficiente B não é uma propriedade única “do piano”: ele abrange duas ordens de grandeza, de cerca de 10⁻⁴ no meio do teclado a cerca de 10⁻² nas notas mais agudas. A zona tranquila é a região do tenor: Schuck e Young constataram que a inarmonicidade é menor nas duas oitavas abaixo do dó central e que a elevação dos parciais cresce aproximadamente com o quadrado do número do parcial (Schuck e Young, JASA 1943).
Para mostrar o que a lei do quadrado significa na prática, eis o nosso próprio cálculo a partir da fórmula padrão: com B = 10⁻⁴, o 10º parcial fica mais agudo por um fator igual à raiz quadrada de 1,01, ou seja, 1200 × log2(√1,01) ≈ 8,6 cents. Com B = 10⁻³, o mesmo parcial fica mais agudo em 1200 × log2(√1,1) ≈ 82,5 cents, perto de um semitom. Essa distância é a matéria-prima com a qual os afinadores precisam trabalhar.
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| Coeficiente de inarmonicidade B, cordas do meio do teclado versus as notas mais agudas | Ordem de 10⁻⁴ (0,0001) versus ordem de 10⁻² (0,01) | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Registro com a menor inarmonicidade | As duas oitavas abaixo do dó central | Schuck e Young, JASA 1943 |
| Como a elevação dos parciais cresce com o número do parcial | Aproximadamente com o quadrado do número do modo | Schuck e Young, JASA 1943 |
| Maior deslocamento de parcial relatado nesse estudo (uma corda) | O 15º parcial em cerca da frequência de um 16º harmônico | Schuck e Young, JASA 1943 |
| Variação de B entre cordas vizinhas, a maioria dos pares de cordas na região dos agudos altos estudada | 5% a 18% | Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020 |
| Variação de B produzida por uma variação de 3% na frequência da corda | 6% | Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020 |
O degrau de 5% a 18% entre vizinhas importa para a afinação automática: os agudos não podem ser afinados a partir de um único valor global de B (Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020). Dados mais recentes disponíveis: as medições de Schuck e Young datam de 1943 e continuam sendo a referência para o padrão por registro.
2. Piano de Cauda versus Vertical: Cordas Graves e Tamanho do Piano
O tamanho aparece primeiro nos graves. As cordas mais graves de um piano vertical podem chegar a B = 10⁻³, contra cerca de 10⁻⁴ em um piano de cauda grande (Dalmont, Acta Acustica 2021), e o artigo observa que o problema é particularmente marcante em pianos verticais com cordas de cerca de 1 m de comprimento. No piano vertical Yamaha C109 medido nesse estudo, B caiu de forma constante, de 4,5×10⁻⁴ no Bb−1 do artigo para 3,2×10⁻⁴ no seu G0. O artigo usa a numeração francesa de oitavas, na qual os números de oitava são uma unidade menores do que no sistema científico, de modo que Bb−1 é a segunda tecla a partir da extremidade grave.
O mesmo estudo mostra que o problema dos graves pode ser reduzido por projeto: pequenas massas fixadas perto da extremidade de cada corda grave revestida levaram o B médio a 1,85×10⁻⁴, um valor mais próximo ao de um piano de cauda grande. Ainda assim, o tamanho não explica tudo. Wogram e Mori constataram que as três cordas de uma mesma nota podem diferir em inarmonicidade mais do que um piano de cauda difere de um vertical (Wogram e Mori, ASA, 146ª reunião, 2003).
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| B das cordas mais graves, piano de cauda grande versus piano vertical | Perto de 10⁻⁴ versus até 10⁻³ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| B medido, piano vertical Yamaha C109, do Bb−1 do artigo ao seu G0 | Diminui de 4,5×10⁻⁴ para 3,2×10⁻⁴ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| B médio das mesmas cordas graves após a fixação de pequenas massas perto de suas extremidades | 1,85×10⁻⁴ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Diferença de inarmonicidade entre as 3 cordas de uma nota versus entre um piano de cauda e um vertical | Pode ser maior dentro da nota do que entre os 2 instrumentos | Wogram e Mori, ASA, 146ª reunião, 2003 |
| Nível sonoro total, piano de cauda versus piano vertical na mesma comparação | Piano de cauda cerca de 2 dB mais alto | Wogram e Mori, ASA, 146ª reunião, 2003 |
| Faixa de B usada para cordas de piano em um modelo de afinação publicado | 0,0004 a 0,002 | Gràcia e Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
Nota de contexto: Gràcia e Sanz-Perela descrevem B como sendo “cerca de 10⁻³” para cordas de piano em geral (Reports@SCM 2017), um valor que, comparado com os valores medidos acima, corresponde aos graves de instrumentos menores e não ao meio de um piano de cauda. Dados mais recentes disponíveis: Acta Acustica 2021.
3. O Estiramento de Railsback e a Oitava Subjetiva
A curva de Railsback é o estiramento médio que técnicos experientes produzem, e Giordano mostrou que um modelo de dissonância sensorial alimentado com espectros medidos de pianos o prevê (Giordano, JASA 2015). Um teste mais recente foi além: 15 afinadores de piano e 18 músicos de orquestra afinaram tons sintetizados que mantinham a inarmonicidade real de um Steinway D, e a curva resultante do teclado se assemelhou à curva de Railsback, com uma diferença remanescente de F(1,16) = 16,05, p < 0,01, maior abaixo de A1 (Jaatinen e Pätynen, JASA 2022).
O estiramento não é apenas um hábito do piano. Com tons de instrumentos de orquestra em vez de tons de piano, 36 músicos ainda alargaram a oitava, e o alargamento cresceu nos agudos, de 7,835 cents em A4 a 23,920 cents em A6 (Jaatinen, Pätynen e Alho, JASA 2019). A física do piano e a preferência do ouvido apontam na mesma direção, e é por isso que os afinadores raramente lutam contra o estiramento.
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| Alargamento da oitava escolhido pelos ouvintes além da proporção exata 2:1, em A4 versus em A6 | 7,835 cents versus 23,920 cents (ambos p < 0,001) | Jaatinen, Pätynen e Alho, JASA 2019 |
| Inclinação média de estiramento no registro médio | 7,82 cents por oitava | Jaatinen, Pätynen e Alho, JASA 2019 |
| Diferença entre a curva de afinação obtida de tons reais de Steinway D e a curva de Railsback | F(1,16) = 16,05, p < 0,01, maior abaixo de A1 | Jaatinen e Pätynen, JASA 2022 |
| Menor diferença de altura que os ouvintes conseguem perceber (limiar diferencial), conforme a frequência e o volume | Tão pequena quanto 10 cents | Gràcia e Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
| Passos de altura usados por um método de afinação automática baseado em entropia | ±1 cent por passo, em espectros agrupados em unidades de 1 cent | Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012 |
| Instrumentos em que o método de entropia havia sido testado na época da publicação | 1 piano vertical | Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012 |
Nota sobre valores atípicos: o estudo com instrumentos de orquestra usou flautas, instrumentos de palheta, metais e cordas em vez de piano, de modo que seus números descrevem a preferência do ouvido, não a inarmonicidade do piano. Seus autores observam que a curva deles difere ligeiramente da curva de Railsback e da afinação típica de um Steinway D, mas segue a mesma tendência. O método de entropia de Hinrichsen reproduziu o estiramento de uma afinação de ouvido em um piano vertical (Hinrichsen 2012), portanto trate-o como prova de conceito.
4. Como os Ouvintes Percebem a Inarmonicidade e a Desafinação
A inarmonicidade não altera apenas a afinação, altera a altura percebida. Um júri de 21 ouvintes percebeu tons graves inarmônicos de piano como cerca de dois semitons e meio mais agudos do que as versões harmônicas, diferença que diminuía para cerca de um oitavo de semitom em fundamentais mais agudas (Anderson e Strong, JASA 2005). Um afinador ouve a corda real, não a do livro didático.
O ouvido também é assimétrico. Entre 101 participantes, uma desafinação de 50 cents na direção comprimida foi detectada significativamente melhor do que a mesma desafinação na direção estirada (Madsen e Oxenham, Communications Psychology 2024). Isso combina com o estiramento: os erros do lado largo são os mais difíceis de notar. A audição pesa mais do que a idade nesse caso, como constatou um estudo de acompanhamento com 91 pessoas (Madsen et al., Hearing Research 2025), um ponto que se conecta com as nossas estatísticas de perda auditiva em músicos. Para ver com que precisão cantores e modelos de síntese acertam a altura em cents, veja as nossas estatísticas de precisão de altura na síntese de voz cantada.
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| Elevação da altura causada por parciais inarmônicos, fundamentais mais graves testadas (21 ouvintes) | Cerca de dois semitons e meio | Anderson e Strong, JASA 2005 |
| Elevação da altura causada por parciais inarmônicos, fundamentais mais agudas testadas | Cerca de um oitavo de semitom | Anderson e Strong, JASA 2005 |
| Detecção de uma desafinação de 50 cents comprimida versus estirada (101 participantes) | Comprimida detectada significativamente melhor, F1,100 = 228,87, p < 0,001 | Madsen e Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Maior experimento individual dessa série sobre desafinação | 160 participantes | Madsen e Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Fator associado à pior percepção de desafinação (91 participantes) | Perda auditiva, mas não a idade | Madsen et al., Hearing Research 2025 |
| Nota mais aguda em que as vibrações longitudinais das cordas foram audíveis em testes ABX (dois pianos de cauda, um vertical) | C5 | Bank e Lehtonen, JASA 2010 |
| Mudança de altura causada apenas pela alteração das fases iniciais dos parciais, tons graves de A0 (27,5 Hz, 100 parciais) | Uma oitava, uma quinta ou uma terça maior | Galembo, Askenfelt, Cuddy e Russo, JASA 2001 |
Nota de contexto: as vibrações longitudinais são movimentos de alongamento ao longo do comprimento da corda, não o movimento lateral que define a altura, e um teste ABX é uma comparação cega na qual os ouvintes dizem a qual de duas versões uma terceira amostra corresponde. Bank e Lehtonen consideraram o efeito sutil entre A3 e C5 (Bank e Lehtonen, JASA 2010), enquanto nos graves profundos as relações de fase por si sós podem deslocar a altura percebida em intervalos grandes (Galembo et al., JASA 2001).
5. Tensão das Cordas, Fio e Projeto de Escala
Na construção de pianos, a “escala” não é uma escala musical, e sim a tabela de projeto dos comprimentos, diâmetros e tensões das cordas. Seu número central é a tração: uma corda de piano contemporâneo puxa em média cerca de 830 N, quase 12 vezes os 70 N de uma corda do piano de Cristofori de 1720 (nossa razão: 830 ÷ 70 ≈ 11,9), e a carga total de um piano de cauda de concerto de 9 pés (274 cm) é de cerca de 210.000 N (Conklin, The cast-iron plate, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990). A placa de ferro que resiste a essa carga pesa de 160 a 180 kg em um piano de cauda de concerto.
O fio define o teto da tensão. O fio de aço para música ganhou cerca de 30% em resistência à tração entre 1850 e 1900 e não mostra melhora significativa desde o final do século XIX, de modo que os limites enfrentados por um projetista em 2011 eram os de 1900 (Giordano, ASA, 161ª reunião, 2011).
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| Tração média por corda, piano de Cristofori de 1720 versus piano contemporâneo | Cerca de 70 N versus cerca de 830 N | Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
| Carga total das cordas, Cristofori de 1720 versus piano de cauda de concerto moderno | Cerca de 7.500 N versus cerca de 210.000 N (47.000 lbf) | Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
| Peso da placa de ferro fundido de um piano de cauda de concerto | 160 a 180 kg | Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
| Tensão das cordas graves nas teclas 11 a 20 de um piano de cauda de 161 cm, em três conjuntos experimentais de cordas | 831 N a 1.131 N | Choi, Yoon, Kim e Sung, Seoul National University 2002 |
| Ganho de resistência à tração do fio de aço do piano, 1850 a 1900 versus desde o final do século XIX | Cerca de 30% versus nenhuma melhora significativa | Giordano, ASA, 161ª reunião, 2011 |
| Número de cordas em um piano típico | Aproximadamente 220 | Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1 (revisado em 1994) |
| Ressonância mais baixa do tampo harmônico de um piano de teste, cordas na afinação versus tensão totalmente liberada | Passa de 115 Hz para 90 Hz | Wogram, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
Nota de contexto: as tensões de Choi et al. vêm de um piano de cauda de 161 cm equipado com três conjuntos diferentes de cordas graves para um experimento de inarmonicidade (Choi et al. 2002). Wogram constatou que as ressonâncias acima de 200 Hz praticamente não são afetadas pela tensão das cordas (Wogram 1990). Dados mais recentes disponíveis: 1990 a 2011.
6. Estabilidade da Afinação, Umidade e Deriva
O tampo harmônico é um painel fino de madeira com um leve arqueamento para cima, chamado de abaulamento, e a umidade altera esse arqueamento. Quando o tampo incha, o abaulamento empurra o cavalete com mais força contra as cordas e a afinação sobe, mais nas oitavas centrais (Piano Technicians Guild, Humidity Control). A meta da associação para sistemas de climatização dentro do piano é de 42% de umidade relativa. Os números da madeira mostram o porquê: a 70 °F, a madeira se estabiliza em 4,5% de teor de umidade com 20% de umidade relativa e em 16,0% com 80% (USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021), e o abeto-de-Sitka (Picea sitchensis) encolhe 7,5% na direção tangencial, mas 4,3% na radial, ao secar completamente.
A deriva medida em um instrumento de concerto foi modesta. Após um ano e cerca de 40 concertos, a afinação de um piano de cauda de concerto havia se deslocado cerca de 2,5 cents na região média e até 10 cents na oitava mais aguda, enquanto as teclas graves 1 a 20 não mostraram mudança mensurável, exceto por três valores atípicos (Plath, ISMA 2019).
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| Desvio de afinação após um ano e cerca de 40 concertos, região média | Cerca de 2,5 cents | Plath, ISMA 2019 |
| Desvio de afinação após um ano e cerca de 40 concertos, oitava mais aguda | Até 10 cents | Plath, ISMA 2019 |
| Desvio de afinação após um ano, teclas graves 1 a 20 | Nenhuma diferença mensurável, exceto por três valores atípicos | Plath, ISMA 2019 |
| Diferença de abaulamento do tampo harmônico entre as duas datas de medição | 1 ± 0,5 mm | Plath, ISMA 2019 |
| Umidade relativa recomendada dentro do piano para sistemas de controle climático | 42% | Piano Technicians Guild, Humidity Control |
| Frequência de afinação recomendada | 3 a 4 afinações no primeiro ano, ao menos 2 por ano depois disso | Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1 (revisado em 1994) |
| Teor de umidade de equilíbrio da madeira a 70 °F, 20% versus 80% de umidade relativa | 4,5% versus 16,0% | USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021 |
| Retração do abeto-de-Sitka do estado verde ao seco em estufa, radial versus tangencial | 4,3% versus 7,5% | USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021 |
Nota de contexto: a sala de concertos desse estudo é aquecida no outono e no inverno, o que reduz a umidade relativa a 20% no extremo, e as duas medições foram feitas no inverno, de modo que a oscilação anual do abaulamento, de até vários milímetros, não foi captada. A orientação de afinação da associação vem de seu boletim sobre elevação de afinação (PTG Technical Bulletin 1). O teor de umidade de equilíbrio é o nível de umidade em que a madeira não ganha nem perde água em uma dada umidade. Dados mais recentes disponíveis: o estudo de deriva de 2019 cobre um único instrumento.
Resumo: Inarmonicidade das Cordas e Estiramento da Afinação do Piano em Números
| Métrica | Valor | Fonte |
|---|---|---|
| B das cordas mais graves, piano de cauda grande versus vertical | Perto de 10⁻⁴ versus até 10⁻³ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Registro com a menor inarmonicidade | As duas oitavas abaixo do dó central | Schuck e Young, JASA 1943 |
| Variação de B entre cordas vizinhas dos agudos altos | 5% a 18% | Applied Sciences 2020 |
| Dispersão da inarmonicidade entre as 3 cordas de uma nota | Pode superar a diferença entre piano de cauda e vertical | Wogram e Mori, ASA 2003 |
| Alargamento da oitava escolhido pelos ouvintes, A4 versus A6 | 7,835 cents versus 23,920 cents | Jaatinen, Pätynen e Alho, JASA 2019 |
| Curva de afinação com inarmonicidade real versus curva de Railsback | F(1,16) = 16,05, p < 0,01 | Jaatinen e Pätynen, JASA 2022 |
| Menor diferença de altura perceptível | Tão pequena quanto 10 cents | Gràcia e Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
| Elevação da altura por parciais inarmônicos, tons mais graves | Cerca de dois semitons e meio | Anderson e Strong, JASA 2005 |
| Detecção de desafinação de 50 cents comprimida versus estirada | Comprimida detectada melhor, F1,100 = 228,87, p < 0,001 | Madsen e Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Percepção de desafinação, 91 participantes | Associada à perda auditiva, não à idade | Madsen et al., Hearing Research 2025 |
| Vibrações longitudinais das cordas audíveis | Até C5 | Bank e Lehtonen, JASA 2010 |
| Mudança de altura apenas pelas fases dos parciais, tons de A0 | Uma oitava, uma quinta ou uma terça maior | Galembo et al., JASA 2001 |
| Carga total das cordas, piano de cauda de concerto moderno | Cerca de 210.000 N | Conklin 1990 |
| Tensão das cordas graves, piano de cauda de 161 cm | 831 N a 1.131 N | Choi et al. 2002 |
| Ganho de resistência à tração do fio de aço, 1850 a 1900 | Cerca de 30% | Giordano, ASA 2011 |
| Deriva da afinação após um ano de concertos, região média versus oitava mais aguda | Cerca de 2,5 cents versus até 10 cents | Plath, ISMA 2019 |
| Umidade relativa recomendada dentro do piano | 42% | Piano Technicians Guild |
| Teor de umidade da madeira com 20% versus 80% de umidade relativa (70 °F) | 4,5% versus 16,0% | USDA Wood Handbook 2021 |
Metodologia e Fontes
Fizemos buscas direcionadas sobre medição de inarmonicidade, o estiramento de Railsback, percepção de oitavas, tensão das cordas e projeto de escala, e deriva causada pela umidade, e então lemos cada número no documento primário (artigo, palestra, orientação profissional ou manual governamental). Números de trechos de resultados de busca, posts de fóruns e blogs de técnicos foram excluídos. Este é um tema de medição, portanto a maior parte dos dados tem mais de três anos: a física das cordas de aço não envelhece, mas cada seção indica seus dados mais recentes disponíveis.
- Dalmont, Piano bass strings with reduced inharmonicity: theory and experiments, Acta Acustica vol. 5, 2021
- Schuck e Young, Observations on the vibrations of piano strings, JASA 15, 1943 (registro do resumo, Technical University of Munich)
- Automatic Tuning of High Piano Tones, Applied Sciences 10(6), 2020
- Wogram e Mori, Is a grand piano always better than an upright piano?, ASA, 146ª reunião, 2003
- Gràcia e Sanz-Perela, The wave equation for stiff strings and piano tuning, Reports@SCM vol. 3, 2017
- Giordano, Explaining the Railsback stretch in terms of the inharmonicity of piano tones and sensory dissonance, JASA 138(4), 2015
- Jaatinen e Pätynen, Effect of inharmonicity on pitch perception and subjective tuning of piano tones, JASA 152(2), 2022
- Jaatinen, Pätynen e Alho, Octave stretching phenomenon with complex tones of orchestral instruments, JASA 146(5), 2019
- Hinrichsen, Entropy-based tuning of musical instruments, Revista Brasileira de Ensino de Física 34(2), 2012
- Anderson e Strong, The effect of inharmonic partials on pitch of piano tones, JASA 117(5), 2005
- Madsen e Oxenham, Mistuning perception in music is asymmetric and relies on both beats and inharmonicity, Communications Psychology 2024
- Madsen, Kreft, Purmalietis, Dau e Oxenham, Association between hearing loss but not age and mistuning perception in music, Hearing Research vol. 467, 2025
- Bank e Lehtonen, Perception of longitudinal components in piano string vibrations, JASA 128(3), 2010
- Galembo, Askenfelt, Cuddy e Russo, Effects of relative phases on pitch and timbre in the piano bass range, JASA 110(3), 2001
- Conklin, The cast-iron plate, Five Lectures on the Acoustics of the Piano, Royal Swedish Academy of Music 1990
- Wogram, Influence of string tension, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990
- Choi, Yoon, Kim e Sung, Influence of inharmonicity on the tone of a piano, Seoul National University 2002
- Giordano, Evolution of music wire and its impact on the development of the piano, ASA, 161ª reunião, 2011
- Plath, Influence of long-term playing on the tonal characteristics of a concert piano, ISMA 2019
- Piano Technicians Guild, Humidity Control
- Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1: Pitch Raising (revisado em 1994)
- USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook FPL-GTR-282, capítulo 4: Moisture relations and physical properties of wood, 2021
- Nota sobre os dados: as faixas publicadas de B se contradizem. Hinrichsen (2012) dá B de 0,0002 nos graves até 0,4 nos agudos, enquanto o artigo de 2021 da Acta Acustica coloca as notas mais agudas na ordem de 10⁻², por isso usamos as ordens de grandeza da Acta Acustica. Não conseguimos ler valores em cents para os extremos da curva de Railsback em nenhuma fonte primária a que tivemos acesso, de modo que este levantamento não traz um número único de “cents de estiramento em A0 e C8”; os números que circulam online remontam a wikis e fóruns. O estudo de deriva e a tabela de tensões de Choi et al. vêm, cada um, de um único instrumento. O boletim da Piano Technicians Guild foi revisado pela última vez em 1994, e a tabela de umidade do Wood Handbook deriva principalmente do abeto-de-Sitka.
Última atualização: 7 de novembro de 2026. Atualizamos este levantamento trimestralmente, e a próxima revisão é esperada quando o Journal of the Acoustical Society of America publicar seus próximos artigos sobre acústica do piano.